四、第二次数学危机
本来一切看起来都很自然，但是英国大主教贝克莱首先对微积分发难：“无穷小到底是一个什么样的数？它是0吗？如果是0，为什么在求导时可以做分母？如果不是0，又怎么能说刚才计算的是一个点的切线斜率，而不是两个点连线的斜率呢？”
从牛顿发明微积分到十九世纪二十年代，关于无穷小到底是怎样一个数，一直没有一个统一的认识。后来，经过阿贝尔、柯西、康托尔等人的努力，直到十九世纪七十年代，人们才确立起极限基本定理，使得无穷小有了一个合理的解释。从牛顿发明微积分开始计算，已经过去了300年。而从芝诺最早提出的无穷小概念，已经过去了2500年。
数学就是这样，为了一个看似简单的概念，可以争论几百年，甚至几千年。
1.3 我说的是假话
——第三次数学危机
“我说的是假话”看似平淡无奇，但是在数学上，却称得上是一个悖论。因为如果这句话是真的，按照字面意思，它就是一句假话；如果这句话是假的，那么就会得到和字面意思相反的结论：这是一句真话。悖论就是一个论述却可以得到两个互相矛盾的结论。
英国数学家罗素提出了与之相似的著名悖论：理发师悖论。
从前有一个村子，村子里只有一名理发师。这个理发师有点怪，他的理发店门口立了一块牌子，写着下图中这段话。
