第七章 调和函数
讨论解析函数就是讨论一对共轭的调和函数，但调和函数本身也是一个重要的研究课题．通过解析函数来研究调和函数的一些性质，处理起来比实分析方法要简单些．也有些调和函数的性质不能用解析函数来处理，正是这些性质使调和函数反过来成为研究解析函数的工具．如利用调和函数可解边界值问题，我们能构造多连通区域的保角映射函数，使其边界预先满足某种对应，然后通过辐角原理论证内部也满足某种对应．具体构造映射函数已超出基础课的要求，这一章我们只讨论调和函数的性质．
1.1 调和微分与共轭调和微分
先回顾一下关于调和函数的定义与性质．
定义1 若区域D内的实函数u（z）＝u（x，y）在D内二次连续可微，且满足Laplace方程：
alt则称u（z）为D内的调和函数 ．
若D内定义的复函数f（z）＝u（z）＋iv（z），其实部与虚部为D内的调和函数，则称f（z）为复调和函数 ．若u1 （z），u2 （z）是D内调和函数，c为实常数，则u1 （z）±u2 （z），cu1 （z）也是D内的调和函数．
引理1 若u（ζ）是区域Ω内的调和函数，f（z）是区域D内的解析函数，且f（D）⊂Ω，则函数u［f（z）］是D内的调和函数．
证明 由复合函数求导公式得
